Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）AC的长是 ， AB的长是 ．
（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．
（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（4）当t为何值，△BEF的面积是2 ？

Answer 1

【答案】
（1）10；5
（2）

解：EF与AD平行且相等．

证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

∴四边形AEFD为平行四边形．

∴EF与AD平行且相等

（3）

解：能；

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又∵AE=DF，

∴四边形AEFD为平行四边形．

∵AB=BCtan30°=5 × =5，

∴AC=2AB=10．

∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使AEFD为菱形，则需AE=AD，

即t=10﹣2t，t= ．

即当t= 时，四边形AEFD为菱形

（4）

解：∵在Rt△CDF中，∠A=30°，

∴DF= CD，

∴CF= t，

又∵BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 ﹣ t，

∴ ，

即： ，

解得：t=3，t=7（不合题意舍去），

∴t=3．

故当t=3时，△BEF的面积为2 ．

故答案为：5，10；平行且相等； ；3

【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，
∴AC=2AB，
根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2 ，
∴3AB2=75，
∴AB=5，AC=10；
在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．（3）求得四边形AEFD为平行四边形，若使AEFD为菱形则需要满足的条件及求得．（4）BE=AB﹣AE=5﹣t，BF=BC﹣CF=5 ﹣ t，从而得到 ，然后求得t的值．
【考点精析】掌握含30度角的直角三角形和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．