Question

【题目】（11分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

（1）求点C，D的坐标；

（2）若在y轴上存在点 M，连接MA，MB，使S△MAB=S平行四边形ABDC，求出点M的坐标．

（3）若点P在直线BD上运动，连接PC，PO．

①若P在线段BD之间时（不与B，D重合），求S△CDP+S△BOP的取值范围；

②若P在直线BD上运动，请直接写出∠CPO、∠DCP、∠BOP的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）C（0，2），D（4，2）；（2）M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）①3＜S△CDP+S△BOP＜4；②∠DCP+∠BOP=∠CPO或∠DCP﹣∠BOP=∠CPO或∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．

【解析】试题分析：（1）根据点的平移规律即可得点C，D的坐标；（2）由S平行四边形ABOC=ABCO即可计算出S平行四边形ABOC=8，设M坐标为（0，m），根据三角形面积公式得×4×|m|=8，解得m=±4，所以点M的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）（3）①根据题意易得S梯形OCDB=7，当点P运动到点B时，S△BOC的最小值=3，则可判断S△CDP+S△BOP＜4，当点P运动到点D时，S△BOC的最大值=4，于是可判断S△CDP+S△BOP＞3，所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；

②分三种情况，第一种情况：当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，根据平行线的性质得CD∥PE∥AB，则∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，易得∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；第二种情况：当点P在线段BD的延长线上时，如图2，同样有∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，由于∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，于是∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；第三种情况，当点P在线段DB的延长线上时，同第二种情况可得，当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．

试题解析：解：（1）由平移可知：C（0，2），D（4，2）；

（2）∵AB=4，CO=2，

∴S平行四边形ABOC=ABCO=4×2=8，

设M坐标为（0，m），

∴×4×|m|=8，解得m=±4

∴M点的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；

（3）①S梯形OCDB=×（3+4）×2=7，

当点P运动到点B时，S△BOC最小，S△BOC的最小值=×3×2=3，S△CDP+S△BOP＜4，

当点P运动到点D时，S△BOC最大，S△BOC的最大值=×4×2=4，S△CDP+S△BOP＞3，

所以3＜S△CDP+S△BOP＜4；

②当点P在BD上，如图1，作PE∥CD，

∵CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，

∴∠DCP+∠BOP=∠EPC+∠EPO=∠CPO；

当点P在线段BD的延长线上时，如图2，作PE∥CD，

∵CD∥AB，

∴CD∥PE∥AB，

∴∠DCP=∠EPC，∠BOP=∠EPO，

∴∠EPO﹣∠EPC=∠BOP﹣∠DCP，

∴∠BOP﹣∠DCP=∠CPO；

同理可得当点P在线段DB的延长线上时，∠DCP﹣∠BOP=∠CPO．