Question

【题目】如图，两个以点O为圆心的同心圆，

图1 图2
（1）如图1，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，试判断AC与BD的数量关系，并说明理由.
（2）如图2，将大圆的弦AB向下平移使其为小圆的切线，切点为C，证明：AC=BC.
（3）在（2）的基础上，已知AB=20cm，直接写出圆环的面积.

Answer 1

【答案】
（1）解：AC=BD，理由是：
过O作OH⊥AB，由垂径定理得AH=BH，CH=DH，

AH-CH=BH-DH，
即AC=BD
（2）解：连接OC，如图，

AB是小圆的切线，
OC⊥AB，则AC=BC
（3）解：如图，连接OB．

∵大圆的弦AB是小圆的切线， ∴OC⊥AB，AC=CB， ∴OB2-OC2=（20÷2）2=102 ， ∵S圆环=S大-S小=πOB2-πOC2=π（OB2-OC2）， ∴S圆环=100πcm2
【解析】（1）AC=BD，理由是：过O作OH⊥AB，由垂径定理得AH=BH，CH=DH，根据等式的性质得出AH-CH=BH-DH，从而得出AC=BD ；
（2）连接OC，如图，根据切线的性质定理得出OC⊥AB，再根据垂径定理得出AC=BC ；
（3）连接OB．根据切线的性质定理得出OC⊥AB，再根据垂径定理得出AC=BC ，然后根据勾股定理及等式的性质得出OB2-OC2=（20÷2）2=102 ，然后根据S圆环=S大-S小=πOB2-πOC2=π（OB2-OC2）算出答案。