Question

【题目】（1）如图1所示，△ABC中，∠ACB的角平分线CF与∠EAC的角平分线AD的反向延长线交于点F；

①若∠B＝90°则∠F＝　 　；

②若∠B＝a，求∠F的度数（用a表示）；

（2）如图2所示，若点G是CB延长线上任意一动点，连接AG，∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，随着点G的运动，∠F+∠H的值是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②∠F＝a；（2）∠F+∠H的值不变，是定值180°．

【解析】

（1）①②依据AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，可得∠CAD=∠CAE，∠ACF=∠ACB，依据∠CAE是△ABC的外角，可得∠B=∠CAE-∠ACB，再根据∠CAD是△ACF的外角，即可得到∠F=∠CAD-∠ACF=∠CAE-∠ACB=（∠CAE-∠ACB）=∠B；

（2）由（1）可得，∠F=∠ABC，根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠H=90°+∠ABG，进而得到∠F+∠H=90°+∠CBG=180°．

解：（1）①∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，

∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，

∵∠CAE是△ABC的外角，

∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，

∵∠CAD是△ACF的外角，

∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝45°，

故答案为：45°；

②∵AD平分∠CAE，CF平分∠ACB，

∴∠CAD＝∠CAE，∠ACF＝∠ACB，

∵∠CAE是△ABC的外角，

∴∠B＝∠CAE﹣∠ACB，

∵∠CAD是△ACF的外角，

∴∠F＝∠CAD﹣∠ACF＝∠CAE﹣∠ACB＝（∠CAE﹣∠ACB）＝∠B＝a；

（2）由（1）可得，∠F＝∠ABC，

∵∠AGB与∠GAB的角平分线交于点H，

∴∠AGH＝∠AGB，∠GAH＝∠GAB，

∴∠H＝180°﹣（∠AGH+∠GAH）＝180°﹣（∠AGB+∠GAB）＝180°﹣（180°﹣∠ABG）＝90°+∠ABG，

∴∠F+∠H＝∠ABC+90°+∠ABG＝90°+∠CBG＝180°，

∴∠F+∠H的值不变，是定值180°．