Question

【题目】某商店销售面向中考生的计数跳绳，每根成本为20元，销售的前40天内的日销售量m（根）与时间t（天）的关系如表．

时间t（天）	1	3	8	10	26	…
日销售量m（件）	51	49	44	42	26	…

前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y1= t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y2=﹣ t+40（21≤t≤40且t为整数）．
（1）认真分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数的知识确定一个满足这些数据m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请计算40天中娜一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜3）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由表格中数据可知，当时间t每增加1天，日销售量相应减少1件，

∴m与t满足一次函数关系，

设m=kt+b，将（1，51）、（3，49）代入，

得： ，

解得： ，

∴m与t的函数关系为：m=﹣t+52

（2）解：设日销售利润为P，

当1≤t≤20时，

P=（﹣t+52）（ t+25﹣20）=﹣ （t﹣16）2+324，

∴当t=16时，P有最大值，最大值为324元；

当21≤t≤40时，

P=（﹣t+52）（﹣ t+40﹣20）= （t﹣46）2﹣18，

∵当t＜46时，P随t的增大而减小，

∴当t=21时，P取得最大值，最大值为 （21﹣46）2﹣18=294.5元；

∵324＞294.5，

∴第16天时，销售利润最大，最大利润为324元

（3）解：设前20天扣除捐赠后的日利润为W，

则W=（﹣t+52）（ t+25﹣20﹣a）=﹣ [t﹣2（8+a）]2+a2﹣36a+324，

∴对称轴为t=16+2a，

∵1≤t≤20，

∴16+2a≥20，解得：a≥2，

即a≥2时，W随t的增大而增大，

又∵a＜3，

∴2≤a＜3

【解析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售1件，所以判断为一次函数关系式，待定系数法求解可得解析式；（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得出结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围．