Question

【题目】如图，抛物线 与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB．点C 在抛物线上，直线AC与y轴交于点D．

（1）求c的值及直线AC的函数表达式；
（2）点P在x轴的正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m ， 求AN的长（用含m的代数式表示）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点C（6，）代入抛物线得:=9++c.

解得c=-3.

当y=0时，x2+x-3=0.

解得：x1=-4,x2=3.

∴A(-4,0).

设直线AC的函数表达式为：y=kx+b(k≠0）.

把A(-4,0)，C（6， ）代入得：

解得：

∴直线AC的函数表达式为：y=x+3.

（2）

①证明：∵在Rt△AOB中，tan∠OAB==.

在Rt△AOB中，tan∠OAD==.

∴∠OAB=∠OAD.

∵在Rt△POQ中,M为PQ中点.

∴OM=MP.

∴∠MOP=∠MPO.

又 ∵∠MOP=∠AON.

∴∠APM=∠AON.

∴△APM∽△AON.

②解：如下图，过点M作ME⊥x轴于点E.

∵OM=MP.

∴OE=EP.

又∵点M的横坐标为m.

∴AE=m+4,AP=2m+4.

∵tan∠OAD=.

∴cos∠EAM=cos∠OAD=.

∴AM=AE=.

∵△APM∽△AON.

∴=.

∴AN==.

【解析】(1)把点C（6，）代入抛物线求出c的值，令y=0求出A点坐标，再用待定系数法求出直线AC的函数表达式.
(2)①在Rt△AOB中，tan∠OAB==. 在Rt△AOB中，tan∠OAD==.从而得出∠OAB=∠OAD；在Rt△POQ中,M为PQ中点得出OM=MP.∠APM=∠AON；从而证明△APM∽△AON.
②如上图，过点M作ME⊥x轴于点E；由OM=MP.得出OE=EP；点M的横坐标为m；得出AE=m+4,AP=2m+4.
根据tan∠OAD=.求出cos∠EAM=cos∠OAD=；再根据△APM∽△AON；得出AN==.
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．