Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，点D在BC边上由C向B匀速运动（D不与B、C重合），匀速运动速度为1cm/s，连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E．

（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠BAD＝　 　．

（2）点D运动3s后到达图2位置，则CD＝　 　．此时△ABD和△DCE是否全等，请说明理由；

（3）在点D运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）大；75°；（2）3cm；△ABD和△DCE全等，理由见解析；（3）105°或 60°

【解析】

（1）根据点D的运动情况判断∠BDA的变化情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAD；

（2）根据点D的运动情况求出CD，利用ASA定理证明△ABD≌△DCE；

（3）分AD=AE、DA=DE、EA=ED三种情况，根据等腰三角形的性质结合角的计算求出∠BDA的度数．

解：（1）在此运动过程中，∠BDA逐渐变大，

D点运动到图1位置时，∠BAD=180°-∠B-∠BDA=75°，

故答案为：大；75°；

（2）点D运动3s后到达图2位置，CD=3cm，此时△ABD≌△DCE，

理由如下：∵AB=AC，∠B=30°，

∴∠C=30°，

∵CD=CA=3cm，

∴∠CAD=∠CDA=×（180°-30°）=75°，

∴∠ADB=105°，∠EDC=75°-30°=45°，

∴∠DEC=180°-45°-30°=105°，

∴∠ADB=∠DEC，

在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（ASA），

（3）△ADE为等腰三角形分三种情况：

①当AD=AE时，∠ADE=30°，

∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=120°，

∵∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，D不与B、C重合，

∴AD≠AE；

②当DA=DE时，∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠DEA=（180°-∠ADE）=75°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；

③当EA=ED时，∠ADE=30°，

∴∠EAD=∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=60°，

综上可知：在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形，此时∠BDA的度数为60°或105°．