【题目】如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；

（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】（1）；（2）6；（3）Q（，0）或Q（，0）．

【解析】试题分析：（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；

（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．

试题解析：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把C（0，4）代入：4=﹣2a，a=﹣2，∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），∴抛物线的解析式为： ；

（2）如图1，设点P（m， ），过P作PD⊥x轴，垂足为D，∴S=S梯形+S△PDB=，∴S==，∵﹣2＜0，∴S有最大值，则S大=6；

（3）存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，理由是：

分以下两种情况：

①当∠BQM=90°时，如图2：

∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ．

设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得： ，解得： ，∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，，∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，设M（m，﹣2m+4），则MQ=﹣2m+4，OQ=m，BQ=2﹣m，在Rt△OBC中，BC===，∵MQ∥OC，∴△BMQ∽BCO，∴，即，∴BM== ，∴CM=BC﹣BM== ，∵CM=MQ，∴﹣2m+4= ，m==，∴Q（，0）．

②当∠QMB=90°时，如图3：

设M（a，﹣2a+4），过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的解析式为： ，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（﹣x，0）（x＞0），∵AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，由勾股定理得： ②，由①②得： =4（舍），=，当a=时，x=，∴Q（，0）．

综上所述，Q点坐标为（，0）或（，0）．

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