Question

【题目】如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，求OP的取值范围.

Answer 1

【答案】解：如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，
由切线的性质，得∠OQP′=90°，
∵OB∥P′Q，
∴∠OP′Q=∠AOB=45°，
∴△OQP′为等腰直角三角形，
在Rt△OQP′中，OQ=1，
OP′= =
∴当过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点时，0＜OP≤
当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．
故答案为：0＜OP≤

【解析】将过点P且与OB平行的直线平移至P′的位置，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，根据条件证明△OQP′为等腰直角三角形，已知OQ=1，解直角三角形求OP′，确定OP的取值范围
【考点精析】通过灵活运用直线与圆的三种位置关系和切线的性质定理，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题．