Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点M在直线L：上．

求直线L的函数表达式；

现将抛物线沿该直线L方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为N，与x轴的右交点为C，连接NC，当时，求平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；(2).

【解析】

由题目已给出的抛物线一般式直接化为顶点式即可读出顶点坐标，把顶点坐标代入直线L的解析式即可求出斜率，进而写出直线L的解析式；

在直线L上取一点N，过N作轴于点E，构造即，使得，则，设平移后的二次函数的顶点式为，则N点坐标为，由得，，则C点坐标可以表示为，又由N在直线L上，所以将N代入得，，即平移后二次函数的顶点式可以为，把代入其中，即可求出h’=3或 h’=-1，因为当对称轴在y轴左侧时抛物线与x轴无交点，与题意有又交点C不相符，则h’=-1应舍去，进而求得将h’和k’代入平移后二次函数的顶点式，再化为一般式即可．

解：抛物线

所以，

点的坐标为

又在直线L上

把代入中得，

解得，

直线L的解析式为，

如图，设N(h′，k′)，过N作轴于点E，连接NC．

由得，，即．

点坐标为(h′-k′，0)

又点N(h′，k′)在直线L上

把N(h′，k′)，代入得，k′=-2h′-2

设平移后的抛物线顶点式为y=(x-h′)2+k′,

则把k′=-2h′-2代入上式得，y=(x-h′)2-2h′-2

且h′-k′=h′-(-2h′-2)=2h′+1

∴C（2h′+1，0）

把C（2h′+1，0）代入y=(x-h′)2-2h′-2得，

整理得，

解得， h’=3或 h’=-1，

又当对称轴在y轴左边时抛物线与x轴无交点，这与题目已知条件“与x轴的右交点为C相矛盾

∴h′=3,

k′=-2×3-2=-8

点坐标为

平移后抛物线顶点式为，

展开得，