Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1 ．
（1）当∠A为70°时， ∵∠ACD﹣∠ABD=∠
∴∠ACD﹣∠ABD=°
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1CD﹣∠A1BD= （∠ACD﹣∠ABD）
∴∠A1=°；
（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2 ， ∠A2BC与A2CD的平分线交于A3 ， 如此继续下去可得A4、…、An ， 请写出∠A与∠An的数量关系；
（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F= ．
（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q﹣∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．

Answer 1

【答案】
（1）A；70；35
（2）∠An= ∠A
（3）25°
（4）①∠Q+∠A1的值为定值正确．

∵∠ACD﹣∠ABD=∠BAC，BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线

∴∠A1=∠A1CD﹣∠A1BD= ∠BAC，（1分）

∵∠AEC+∠ACE=∠BAC，EQ、CQ是∠AEC、∠ACE的角平分线，

∴∠QEC+∠QCE= （∠AEC+∠ACE）= ∠BAC，

∴∠Q=180°﹣（∠QEC+∠QCE）=180°﹣ ∠BAC，

∴∠Q+∠A1=180°．

【解析】解：（1）当∠A为70°时， ∵∠ACD﹣∠ABD=∠A，
∴∠ACD﹣∠ABD=70°，
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线，
∴∠A1CD﹣∠A1BD= （∠ACD﹣∠ABD）
∴∠A1=35°；
所以答案是：A，70，35；（2）∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，
而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A1=80°，
∴∠A1=40°，
同理可得∠A1=2∠A2 ，
即∠BAC=22∠A2=80°，
∴∠A2=20°，
∴∠A=2n∠An ， 即∠An= ∠A，
所以答案是：∠An= ∠A．（3）∵∠ABC+∠DCB=360°﹣（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°﹣∠DCE）=360°﹣（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°﹣2∠DCF）=180°﹣2（∠DCF﹣∠FBC）=180°﹣2∠F，
∴360°﹣（α+β）=180°﹣2∠F，
2∠F=∠A+∠D﹣180°，
∴∠F= （∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A+∠D=230°，
∴∠F=25°；
所以答案是：25°．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的内角和外角的相关知识，掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对三角形的外角的理解，了解三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．