Question

【题目】如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AC为直径，且AC＝2．

（1）用尺规作图作出∠ABE＝45°，与弧AC交于E点（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若∠A＝30°，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BE＝1+．

【解析】

（1）首先根据直径所对的圆周角为90°可知∠ABC=90°，由此可知要使∠ABE为45°，只要画出∠ABC的角平分线即可，据此按照角平分线的作图方法画图即可；

（2）过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接CE，首先根据AC为直径得出∠ABC=90°，然后利用“30°角所对的直角边为斜边一半”得出BC的长，然后在Rt△BFC中利用三角函数求出CF，由此进一步得出BF，最后在Rt△EFC中再次根据三角函数求出EF，由此即可得出答案.

（1）如图，∠ABE即为所求；

（2）过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接CE，

∵∠A=30°，

∴∠BEC=30°，

∵AC为直径，

∴∠ABC=90°，

由（1）可知∠ABE=45°，

∴∠EBC=45°，

在Rt△ABC中，∵∠A=30°，AC=，

∴BC=，

在Rt△BFC中，sin∠FBC=，

∴CF=1，

∵∠EBC=45°，CF⊥BE，

∴∠BCF=45°，

∴BF=CF=1，

在Rt△EFC中，tan∠BEC=，

∴EF=，

∴BE=BF+EF=.