Question

【题目】已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系，QE与QF的数量关系.
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

Answer 1

【答案】解：（1）如图1，

当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是AE=BF，
理由是：∵Q为AB的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中

∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF，
故答案为：AE∥BF，QE=QF；
（2）

QE=QF，
证明：延长EQ交BF于D，
∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF；，
（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
证明：延长EQ交FB于D，如图3，

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中

∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90°，
∴QE=QF．
【解析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；
（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；
（3）延长EQ交FB于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EQ=QD，根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．