Question

【题目】如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求∠BEC的正切值．

Answer 1

【答案】（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切．理由见解析；（2 ）.

【解析】【试题分析】

（1）证明切线的方法，知道直线与圆的交点，连接半径证垂直半径，即可.

（2）BC已知，关键是求BE 的长度，在Rt 中，OA=5，OD=3，根据勾股定理得CD=4，在Rt 中,设BE=DE=x，列出勾股定理方程（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，所以tan∠BEC=.

【试题解析】

（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切．

理由：

连接OD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠CDA=∠CBD，

∴∠DAB+∠CDA=90°，

∵OD=OA，

∴∠DAB=∠ADO，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即：OD⊥CE，

∴直线CD 是⊙O的切线．

即：直线CD 与⊙O的位置关系是相切．

（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，

∴OC=2=3=5，OD=3，

在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4．

∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，

∴DE=EB，∠CBE=90°，

设DE=EB=x，

在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2=BE2+BC2，

则 （4+x）2=x2+（5+3）2，

解得：x=6，

即 BE=6，

∴tan∠BEC=，

即：tan∠BEC=．