Question

【题目】如图1，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）当t＝ 时，则OP＝ ，S△ABP＝ ；

（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；

（3）如图2，当AP＝AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP＝∠B，求证：AQ·BP＝3．

Answer 1

【答案】（1）1， ；（2）1或；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；

（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；

（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．

试题解析：（1）1，

（2）①∵∠A＜∠BOC＝60，∴∠A不可能是直角

②当∠ABP＝90时

∵∠BOC＝60，∴∠OPB＝30

∴OP＝2OB，即2t＝2

∴t＝1

③当∠APB＝90时

作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP＝∠PDB＝90

∵OP＝2t，∴OD＝t，PD＝t，AD＝2＋t，BD＝1－t（△BOP是锐角三角形）

∴AP 2＝( 2＋t )2＋3t 2，BP 2＝( 1－t )2＋3t 2

∵AP 2＋BP 2＝AB 2，∴( 2＋t )2＋3t 2＋( 1－t )2＋3t 2＝9

即4t 2＋t－2＝0，解得t1

解得t1＝，t2＝（舍去）

综上，当△ABP是直角三角形时，t＝1或

（3）

连接PQ，设AP与OQ相交于点E

∵AQ∥BP，∴∠QAP＝∠APB

∵AP＝AB，∴∠APB＝∠B

∴∠QAP＝∠B

又∵∠QOP＝∠B，∴∠QAP＝∠QOP

∵∠QEA＝∠PEO，∴△QEA∽△PEO

∴

又∵∠PEQ＝∠OEA，∴△PEQ∽△OEA

∴∠APQ＝∠AOQ

∵∠AOC＝∠AOQ＋∠QOP＝∠B＋∠BPO

∴∠AOQ＝∠BPO，

∴∠APQ＝∠BPO

∴△APQ∽△BPO，

∴

∴AQ·BP＝AP·BO＝3×1＝3