Question

【题目】综合与实践

已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．

（1）（问题发现）

如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），

①证明：△ADE≌△BDF；

②猜想：S△DEF+S△CEF＝　 　S△ABC．

（2）（类比探究）

如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明．

（3）（拓展延伸）

如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②；

（2）上述结论成立；理由见解析；

（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由见解析.

【解析】

（1）①先判断出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判断出∠A=∠BDF，即可得出结论；②当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；

（2）成立；先判断出∠DCE=∠B，进而得出△CDE≌△BDF，即可得出结论；

（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF==S△CFE+S△ABC．

解：（1）①∵∠C＝90°，

∴BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，

∵∠EDF＝90°，

∴∠ADE+∠BDF＝90°，

∵DE⊥AC，

∴∠AED＝90°，

∴∠A+∠ADE＝90°，

∴∠A＝∠BDF，

∵点D是AB的中点，

∴AD＝BD，

在△ADE和△BDF中，

∴△ADE≌△BDF（SAS）；

②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．

设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．

∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，

即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；

故答案为：．

（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，

∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，

∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，

∵∠EDF＝90°，

∴∠CDE＝∠BDF，

在△CDE和△BDF中，

，

∴△CDE≌△BDF（ASA），

∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；

（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：

同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°

∴S△DEF＝S五边形DBFEC，

＝S△CFE+S△DBC，

＝S△CFE+S△ABC，

∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．

∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．