Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于B、C两点，动点D在线段OB上，将线段DC绕着点D顺时针旋转90°得到DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥y轴，交直线l于F，设点D的横坐标为m．

（1）请直接写出点B、C的坐标；

（2）当点E落在直线BC上时，求tan∠FDE的值；

（3）对于常数m，探究：在直线l上是否存在点G，使得∠CDO=∠DFE+∠DGH？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（5，0），C（0，3）；（2）；（3）当0＜m＜3时，存在∠CDO=∠DFE+∠DGH，此时G（3+m，）或（3+m，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）分别令x=0和y=0，即可求得；

（2）证得四边形COHF是矩形，然后证得△OCD≌△HDE，从而证得△DHF是等腰直角三角形，得出∠HDE+∠FDE=45°，由∠OCD+∠ECF=45°，得出∠ECF=∠FDE，进一步得出∠OBC=∠FDE，解直角三角形即可求得tan∠OBC==，从而得出tan∠FDE=．

（3）根据三角形全等的性质要使∠CDO=∠DFE+∠DGH，只要△EDF∽△EGD，所以只要，即DE2=EFEG，由（2）可知：DE2=CD2=OD2+OC2=m2+32，EF=3﹣m，然后分三种情况讨论即可求得．

试题解析：（1）∵直线与x轴、y轴相交于B、C两点，∴令y=0，则0=，解得x=5，令x=0，则y=3，∴B（5，0），C（0，3）；

（2）如图1，∵∠CDE=90°，∴∠CDO+∠EDH=90°，∵∠CDO+∠OCD=90°，∴∠OCD=∠EDH，在△OCD和△HDE中，∵∠OCD=∠HDE，∠COD=∠DHE=90°，CD=DE，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴DH=OC=3，∵直线l⊥x轴于H，CF⊥y轴，∴四边形COHF是矩形，∴FH=OC=3，∴DH=HF，∴∠HDF=45°，即∠HDE+∠FDE=45°，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠DCE=45°，∴∠OCD+∠ECF=45°，∴∠ECF=∠FDE，∵∠OBC=∠ECF，∵tan∠OBC==，∴tan∠FDE=．

（3）如图2，由（2）可知△OCD≌△HDE，∴∠CDO=∠DEH，要使∠CDO=∠DFE+∠DGH，只要∠DEH=∠DFE+∠DGH，在△DEF中，∠DEH=∠EDF+∠DFE，∴只要∠EDF=∠DGF，∵∠FED=∠GED，只要△EDF∽△EGD，∴只要，即DE2=EFEG，由（2）可知：DE2=CD2=OD2+OC2=m2+32，EF=3﹣m，∴当0＜m＜3时，EG==，HO=3+m，此时，G（3+m，），根据对称可知，当0＜m＜3时，此时还存在G′（3+m，﹣）；

当m=3时，此时点E和点F重合，∠DFE不存在，当3≤m≤5时，点E在F的上方，此时，∠DFE＞∠DEF，此时不存在∠CDO=∠DFE+∠DGH，综上，当0＜m＜3时，存在∠CDO=∠DFE+∠DGH，此时G（3+m，）或（3+m，﹣）．