Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．

（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OE，

∵OA=OE，

∴∠A=∠AEO，

∵BF=EF，

∴∠B=∠BEF，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠AEO+∠BEF=90°，

∴∠OEG=90°，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AD是⊙O的直径，

∴∠AED=90°，

∵∠A=30°，

∴∠EOD=60°，

∴∠EGO=30°，

∵AO=2，

∴OE=2，

∴EG=2 ，

∴阴影部分的面积= 2×2 ﹣ =2 ﹣ π．

【解析】（1）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结OE,证明OE与EF垂直，可证∠AEO+∠BEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形OEG面积减去扇形OED的面积即可.