Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N．连接BM，DN．

(1)求证：四边形BMDN是菱形；

(2)若AB=4，AD=8，求MD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）MD长为5．

【解析】

（1）利用矩形性质，证明BMDN是平行四边形，再结合MN⊥BD，证明BMDN是菱形．

（2）利用BMDN是菱形，得BM=DM，设，则，在中使用勾股定理计算即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

∵BD的垂直平分线MN

∴BO=DO，

∵在△DMO和△BNO中

∠MDO=∠NBO，BO=DO，∠MOD=∠NOB

∴△DMO ≌ △BNO（AAS），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD

∴BMDN是菱形

（2）∵四边形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

设MD=x，则MB=DM=x，AM=(8-x)

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8-x）2+42，

解得：x=5

答：MD长为5．