Question

【题目】如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．

（1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）
①求证：BG⊥GE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图①，

∵AD为等腰直角△ABC的高，

∴AD=BD，

∵四边形DEFG为正方形，

∴∠GDE=90°，DG=DE，

在△BDG和△ADE中

，

∴△BDG≌△ADE，

∴BG=AE；

（2）

①证明：如图②，

∵四边形DEFG为正方形，

∴△DEG为等腰直角三角形，

∴∠1=∠2=45°，

由（1）得△BDG≌△ADE，

∴∠3=∠2=45°，

∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，

∴BG⊥GE；

②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，

∴DG= GE= x，

∵△BDG≌△ADE，

∴BG=AE=4x，

在Rt△BGA中，AB= = =5x，

∵△ABD为等腰直角三角形，

∴∠4=45°，BD= AB= x，

∴∠3=∠4，

而∠BDM=∠GDB，

∴△DBM∽△DGB，

∴BD：DG=DM：BD，即 x： x=DM： x，解得DM= x，

∴GM=DG﹣DM= x﹣ x= x，

∴ = = ．

【解析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG= GE= x，由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD= AB= x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM= x，所以GM= x，于是可计算出 的值．