Question

【题目】如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．

（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）猜想：线段PC，PE，PF之间存在什么关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵ABCD是菱形，

∴DA=DC，∠ADP=∠CDP

在△APD和△CPD中，

，

∴△APD≌△CPD

（2）

证明：由（1）△APD≌△CPD，

得：∠PAE=∠PCD，

又由DC∥FB得：∠PFA=∠PCD

∴∠PAE=∠PFA

又∵∠APE=∠APF，

∴△APE∽△FPA

（3）

解：线段PC、PE、PF之间的关系是：PC2=PEPF，

∵△APE∽△FPA，

∴ ，

∴PA2=PEPF，

又∵PC=PA，

∴PC2=PEPF

【解析】（1）由菱形的性质得到判定△APD≌△CPD的条件；（2）由△APD≌△CPD判断出△APE∽△FPA；（3）由△APE∽△FPA得到 ，再等量代换即可．
【考点精析】掌握相似三角形的性质和相似三角形的判定是解答本题的根本，需要知道对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．