Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF= ，求点Q的坐标；
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），

∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣ ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+5．

（2）

解：）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），

则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG= （m+5），FM= = ，

∵sin∠AMF= ，

∴ = ，

∴ = ，整理得到2m2+19m+44=0，

∴（m+4）（2m+11）=0，

∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），

∴点Q坐标（﹣4， ）

（3）

解：

①当MN是对角线时，设点F（m，0）．

∵直线AC解析式为y=x+5，

∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），

∵QN=PM，

∴﹣ m2﹣ m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣ （m+1）2﹣ （m+1）+5]，

解得m=﹣3± ，

∴点M坐标（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣ ，3﹣ ）．

②当MN为边时，MN=PQ= ，设点Q（m，﹣ m2﹣ m+5）则点P（m+1，﹣ m2﹣ m+6），

∴﹣ m2﹣ m+6=﹣ （m+1）2﹣ （m+1）+5，

解得m=﹣3．

∴点M坐标（﹣2，3），

综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+ ，3+ ）或（﹣2﹣ ，3﹣ ）．

【解析】（1）设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入即可解决问题．（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF= = ，列出方程即可解决问题．（3）①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②当MN为边时，MN=PQ= ，设点Q（m，﹣ m2﹣ m+5）则点P（m+1，﹣ m2﹣ m+6），代入抛物线解析式，解方程即可．本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数的性质，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．