Question

【题目】如图所示，AB是⊙O的直径，点C是 的中点，∠COB=60°，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E

（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

连接OD，如图，

∵C是 的中点，

∴∠BOC=∠COD=60°，

∴∠AOD=60°，且OA=OD，

∴△AOD为等边三角形，

∴∠EAB=∠COB，

∴OC∥AE，

∴∠OCE+∠AEC=180°，

∵CE⊥AE，

∴∠OCE=180°﹣90°=90°，即OC⊥EC，

∵OC为圆的半径，

∴CE为圆的切线

（2）解：

四边形AOCD是菱形，理由如下：

由（1）可知△AOD和△COD均为等边三角形，

∴AD=AO=OC=CD，

∴四边形AOCD为菱形．

【解析】（1）连接OD，可证明△AOD为等边三角形，可得到∠EAO=∠COB，可证明OC∥AE，可证得结论；（2）利用△OCD和△AOD都是等边三角形可证得结论．
【考点精析】通过灵活运用菱形的判定方法和切线的判定定理，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可以解答此题．