Question

【题目】如图，已知AB为⊙O直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F，cos∠BAC=

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AF=8，求DF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∵AE⊥DE，

∴OD⊥DE，

∵OD为半径，

∴DE是⊙O切线；

（2）

解：过D作DH⊥AB于H，连接BD、OD，

则∠CAB=∠DOH，

∵cos∠DOH=cos∠CAB= ，

设OD=5x，则 AB=10x，OH=3x，DH=4x．

在Rt△ADH中，由勾股定理得：AD2=（4x）2+（5x+3x）2=80x2，

∵DE⊥AC，AB是⊙O直径，

∴∠AED=∠ADB=90°，

∵∠EAD=∠BAD（角平分线定义），

∴△EAD∽△DAB，

∴ ，

∴AD2=AEAB=AE10x，

∴AE=9x，

∵OD∥AE，

∴△ODF∽△EAF，

∴ ，

∵AF=8，

∴DF=5．

【解析】（1）连接OD，推出OD∥AE，推出OD⊥DE，根据切线判定推出即可；（2）连接BD，过D作DH⊥AB于H，根据cos∠DOH=cos∠CAB= ，设OD=5x，则 AB=10x，OH=3x，DH=4x．由勾股定理得：AD2=80x2 ， 证△EAD∽△DAB求出AD2=AEAB=AE10x，得出AE=8x，根据△ODF∽△EAF即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的切线的判定定理，需要了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能得出正确答案．