Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，BC=．点D从B点开始运动到C点结束（点D和B、C均不重合），DE交AC于E，∠ADE=45°，当△ADE是等腰三角形时，AE的长度为__________．

Answer 1

【答案】1或4-2

【解析】

分类讨论：当EA=ED，△ADE为等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠EAD=45°，∠AED=90°，则AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，然后根据等腰直角三角形的性质得到DE=AC=1；当DA=DE，△ADE为等腰三角形，由∠ADE=45°得到∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，而∠EDC+∠DEC=135°，所以∠ADB=∠DEC，根据三角形相似的判定得到△ABD∽△DCE，则BD：CE=AB：DC=AD：DE，利用AD=DE得到AB=DC=2，BD=CE；由于∠BAC=90°，AB=AC=2，根据等腰直角三角形的性质得BC=2，所以BD=2-2=EC，然后根据AE=AC-EC进行计算．

解：当EA=ED，△ADE为等腰三角形，

∵∠ADE=45°，

∴∠EAD=45°，∠AED=90°，

∵∠BAC=90°，

∴AD平分∠BAC，AD⊥BC，DE⊥AC，如图1，

∵AB=AC=2，

∴DE=AC=1；

当DA=DE，△ADE为等腰三角形，如图2

∵∠ADE=45°，

∴∠ADB+∠EDC=180°-45°=135°，

而∠EDC+∠DEC=135°，

∴∠ADB=∠DEC，

而∠B=∠C，

∴△ABD∽△DCE，

∴BD：CE=AB：DC=AD：DE，

而AD=DE，

∴AB=DC=2，BD=CE，

∵BC=2，

∴BD=2-2=EC，

∴AE=AC-EC=2-（2-2）=4-2．

故答案为1或4-2．