Question

【题目】在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，点D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE、BF．

（1）当点D在线段AB上时（点D不与点A、B重合），如图1

①请你将图形补充完整；

②线段BF、AD所在直线的位置关系为　 　，线段BF、AD的数量关系为　 　；

（2）当点D在线段AB的延长线上时，如图2

①请你将图形补充完整；

②在（1）中②问的结论是否仍然成立？如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①补图见解析；②垂直、相等；（2）①补图见解析；②成立，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）①D在线段AB上时，在直线l上截取CE=CF=CD，即可画出图象．②在图1中证明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

（2）①D在线段AB延长线上时，在直线l上截取CE=CF=CD，即可画出图象．②在图2中证明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

试题解析：解：（1）①见图1所示．

②证明：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCF，∴∠ACD=∠BCF

∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．

故答案为：垂直、相等．

（2）①见图2所示．

②成立．理由如下：

证明：∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°．∵∠ACB=90°，∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠ACD=∠BCF．∵BC=AC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．