Question

【题目】如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠DCA=∠ABD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确的结论有（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCE，然后求出A、B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC；∠DAE=∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠DAF，然后求出∠DAF=∠CBD．

解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE=DF，

在Rt△CDE和Rt△BDF中，

∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；

∴CE=AF，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

,

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE=AF，

∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，

∴∠DBF=∠DCE

∴A、B、C、D四点共圆，

∴∠BDC=∠BAC，故③正确；

∠DAE=∠CBD，

∵Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴∠DAE=∠DAF，

∴∠DAF=∠CBD，故④正确；

综上所述，正确的结论有①②③④共4个．

故选：A．