Question

【题目】在ABC 中， AB AC ， BAC=100°，点 D 在 BC 上， ABD 和AFD 关于直线 AD 对称， FAC 的平分线交 BC 于点 G，连接 FG 当BAD _________.时，DFG为等腰三角形.

Answer 1

【答案】10°，25°或40°

【解析】

由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG=80°,当GD=GF时，就可以得出∠GDF═80°，根据∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出结论；当DF=GF时，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，当DF=DG时，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，从而求出结论.

∵AB=AC，∠BAC=100°，

∴∠B=∠C=40°．

∵△ABD和△AFD关于直线AD对称，

∴△ADB≌△ADF，

∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，

∴AF=AC．

∵AG平分∠FAC，

∴∠FAG=∠CAG．

在△AGF和△AGC中，

，

∴△AGF≌△AGC（SAS），

∴∠AFG=∠C．

∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，

∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．

当GD=GF时，

∴∠GDF=∠GFD=80°．

∵∠ADG=40°+θ，

∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，

∴θ=10°．

当DF=GF时，

∴∠FDG=∠FGD．

∵∠DFG=80°，

∴∠FDG=∠FGD=50°．

∴40°+50°+40°+2θ=180°，

∴θ=25°．

当DF=DG时，

∴∠DFG=∠DGF=80°，

∴∠GDF=20°，

∴40°+20°+40°+2θ=180°，

∴θ=40°．

∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形