Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB= ，AB=3，求BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，

∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，

故∠DCE=∠E，

∴DC=DE

（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，

在Rt△EAD中，

∵tan∠CAB= ，∴ED= AD= （3+x），

由（1）知，DC= （3+x），在Rt△OCD中，

OC2+CD2=DO2，

则1.52+[ （3+x）]2=（1.5+x）2，

解得：x1=﹣3（舍去），x2=1，

故BD=1

【解析】（1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DCE=∠E，进而得出答案；（2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长．