Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB＝45°.

(1)若AP＝2，BP＝6，求MN的长；

(2)若MP＝3，NP＝5，求AB的长；

(3)若⊙O的半径为R，求PM2＋PN2的值．

Answer 1

【答案】(1)MN＝2(2)2(3)PM2＋PN2＝2R2

【解析】试题分析：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出，在Rt△POH中，由于则再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出然后根据垂径定理由OH⊥MN，得到HM=HN，

所以
（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由得到OH=1，再在Rt△OHN中，利用勾股定理可计算出

（3）作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到 在Rt△POH中，由得，则 然后变形可得到 所以的值为

试题解析：(1)作OH⊥MN于H，连接ON，

∵AP=2，BP=6，

∴AB=8，

∴OA=4，OP=2，

在Rt△POH中,

在Rt△OHN中,

∵OH⊥MN，

∴HM=HN，

(2)作OH⊥MN于H，连接ON，

则HM=HN，

∵MP=3,NP=5,

∴MN=8，

∴HM=HN=4，

∴PH=1，

在Rt△POH中,

∴OH=1，

在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，

(3)作OH⊥MN于H，连接ON，

则HM=HN，

在Rt△OHN中,

在Rt△POH中,

∴OH=PH，

∴