Question

【题目】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB的中点，过点B作BF∥AC交AE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：△AOE≌△FBE；

（2）求证：四边形BOCF是菱形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）根据E是OB的中点得OE=BE，根据BF∥AC得∠AOE=∠FBE，∠OAE=∠BFE，进而根据“AAS”即可证得△AOE≌△FBE；

（2）由矩形ABCD可得AO=CO=BO，由△AOE≌△FBE可得AO=BF，进而可得CO=BF，根据BF∥AC，CO=BF可得四边形BOCF是平行四边形，再结合CO=BO即可得证．

证明：（1）∵E是OB的中点，

∴OE=BE，

∵BF∥AC，

∴∠AOE=∠FBE，∠OAE=∠BFE，

在△AOE与△FBE中，

∴△AOE≌△FBE（AAS）；

（2）∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，

∴AO=CO=BO，

∵△AOE≌△FBE，

∴AO=BF，

∴CO=BF，

∵BF∥AC，CO=BF，

∴四边形BOCF是平行四边形，

又∵CO=BO，

∴四边形BOCF是菱形．