Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵∠BAC的角平分线AD，

∴∠BAE=∠CAD，

∵∠ABC=∠ADC，

∴△ABE∽△ADC

（2）证明：∵∠BAD=∠CAD，

∴ ，

∵OD为半径，

∴DO⊥BC（垂径定理），

∵F为OD的中点，

∴OB=BD，OC=CD，

∵OB=OC，

∴OB=BD=CD=OC，

∴四边形OBDC是菱形．

【解析】（1）根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据相似三角形的判定推出即可；（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB=BD，OC=CD，根据菱形的判定推出即可．
【考点精析】掌握菱形的判定方法和圆周角定理是解答本题的根本，需要知道任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．