Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣（a+1）x﹣3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠BCO=45°，点M为线段BC上异于B、C的一动点，过点M与y轴平行的直线交抛物线于点Q，点R为线段QM上一动点，RP⊥QM交直线BC于点P．设点M的横坐标为m．

（1）求抛物线的表达式；
（2）当m=2时，△PQR为等腰直角三角形，求点P的坐标；
（3）①求PR+QR的最大值；②求△PQR面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=ax2﹣（a+1）x﹣3中，令x=0可得y=﹣3，

∴C（0，﹣3），即OC=3，

∵∠BCO=45°，

∴OB=OC=3，

∴B（3，0），

把B点坐标代入抛物线解析式可得9a﹣3（a+1）﹣3=0，求得a=1，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：当m=2时，则M（2，0），

把x=2代入抛物线解析式可得y=﹣3，

∴Q（2，﹣3），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直线BC表达式为y=x﹣3，

∴可设P（p，p﹣3），则PR=2﹣p，QR=p﹣3﹣（﹣3）=p，

∵PR=QR，

∴2﹣p=p，解得p=1，

∴P（1，﹣2）

（3）

解：①由（2）可知M（m，m﹣3），Q（m，m2﹣2m﹣3），

∵PR⊥MQ，

∴∠MPR=45°，

∴MR=PR，

∴PR+QR=PR+MR=QM=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∵﹣1＜0，

∴当m= 时，PR+QR取最大值 ；

②∵PR+QR的最大值为 ，

∴S△PQR= PRQR≤ PR（ ﹣PR）=﹣ （PR﹣ ）2+ ，

∵ ＜0，

∴当PR= 时，△PQR的面积取得最大值 ．

【解析】（1）可先求得C点坐标，利用∠BCO=45°可求得B点坐标，代入抛物线解析式可求得a，可求得抛物线解析式；（2）可先求得Q的坐标，利用待定系数法可求得直线BC解析式，设出P点坐标，则可表示出PR、QR的长，由等腰三角形的性质可得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；（3）①由题意可知PR=RM，故PR+QR=MQ，设出可用m表示出Q点坐标，则可表示出MQ的长，利用二次函数的性质可求得其最大值；②用PR表示出△PQR的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值．