Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段CB上的异于B、C的动点，AF⊥AE交线段CD的延长线于点F，EF与AD交于点M．

（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AE⊥BD，求BE长；
（3）若△AEM是以AE为腰的等腰三角形，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°，AD∥BC，

∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，

∴∠BAD=∠EAF，

∴∠BAE=∠DAF，

∵∠ABE=∠ADF=90°，

∴△ABE∽△ADF

（2）

解：∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE，

∵AE⊥BD，

∴∠BAE+∠ABD=90°，

∵∠BAE+∠AEB=90°，

∴∠ABD=∠AEB，

∴∠AEB=∠ABD，

又∵∠ABE=∠BAD=90°，

∴△ABE∽△DAB，

∴ ，即 ，

解得：BE=

（3）

解：分两种情况：

①当AE=AM时，∠AEF=∠AME，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∵AD∥BC，

∴∠AME=∠CEF，

∴∠AEF=∠CEF，

在△AEF和△CEF中， ，

∴△AEF≌△CEF（AAS），

∴AE=CE，

设BE=x，则AE=CE=4﹣x，Rt△ABE中，

由勾股定理得：x2+32=（4﹣x）2，解得：x= ；

②当AE=EM时，过点E作EN⊥AD于点N，如图所示：

则AN=MN=BE=x，EN∥DF，

由（1）得：△ABE∽△ADF，

∴ ，即 ，

解得：DF= x，

∵EN∥DF，

∴∴△EMN∽△FMD，

∴ ，即 ，

解得：x= 或x=﹣6（舍去），

∴BE= ；

综上所述，若△AEM是以AE为腰的等腰三角形，BE长为 或 ．

【解析】（1）由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°，AD∥BC，证出∠BAE=∠DAF，即可得出结论；（2）证明△ABE∽△DAB，得出对应边成比例，即可得出答案；（3）①当AE=AM时，证明△AEF≌△CEF（AAS），得出AE=CE，设BE=x，则AE=CE=4﹣x，Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当AE=EM时，过点E作EN⊥AD于点N，则AN=MN=BE=x，EN∥DF，由（1）得：△ABE∽△ADF，得出对应边成比例求出DF= x，由平行线证明△EMN∽△FMD，得出对应边成比例，得出方程，解方程即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的应用(测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解)．