Question

【题目】已知：在正方形中，点在直线上，连接，作交直线于点，点在直线上，连接，且，

（1）如图1，当点在边上，求证：；

（2）如图2，当点在的延长线上，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，求线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BH= ．

【解析】

（1）利用平行线的性质以及三角形的外角的性质证明即可．
（2）如图2中，延长MN，AB交于点K，连接CK，只要证明△AMB≌△KMB（ASA），CN=KN即可解决问题．
（3）如图（3）中，延长MN，AB交于点K，连接CK，CA，BN，AC，延长AC交KM于E，作HF⊥BM于F．想办法证明BC=CM，推出tan∠AMB=tan∠BMK= ，解直角三角形求出HF，BF即可解决问题．

（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH=∠AMB，
∵∠AMB=∠NMB，∠NMB=∠N+∠NCB，
∴∠DAH=∠N+∠NCB．
（2）证明：如图2中，延长MN，AB交于点K，连接CK，CA．

在正方形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，
∵∠AMB=∠BMN，
∵∠ABM=∠KBM=90°，BM=BM，
∴△AMB≌△KMB（ASA），
∴BK=AB=BC，∠BKM=∠BAM，AM=KM，
∴∠BKC=∠BCK，
∵CH⊥AM，
∴∠BAM=90°-∠AMB=90°-∠CMH=∠BCN，
∴∠BKM=∠BCN，
∴∠BKC-∠BKM=∠BCK-∠BCN，
∴∠NKC=∠NCK，
∴NK=NC，
∵KM=MN+NK，
∴AM=MN+CN．
（3）解：如图（3）中，延长MN，AB交于点K，连接CK，CA，BN，AC，延长AC交KM于E，作HF⊥BM于F．

设CN=KN=x，则MN=2x，
∵BK=BC，BN=BN，KN=KC，
∴△BNK≌△BNC（SSS），
∴∠NBK=∠NBC=∠CBK=45°，
∵四边形ABC都是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴∠NBK=∠BAC，
∴AE∥BN，
∵AB=BK，
∴KN=NE=x，
∴EN=EM=x，
∵CE∥BN，EN=EM，
∴BC=CM，
∴tan∠AMB=tan∠BMK==，
在Rt△CHM中，∵∠CHM=90°，
∴tan∠CMH=，
∵CH=2，
∴MH=4，
∴CM==10，
∵CHHM=CMHF，
∴FH=4，FM=8，CF=2，
在Rt△BHF中，BH= ．