Question

【题目】在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的对角线在轴上，两点分别在第一象限和第四象限.直线的解析式为．

（1）如图1，求点的坐标；

（2）如图2，为射线上一动点（不与点和点重合），过点作轴交直线于点.设线段的长度为，点的横坐标为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

（3）如图3，在（2）的条件下，当点运动到线段的延长线上时，连接交轴于点，连接，，延长交于点，过作交轴于点，的角平分线交轴于点，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（4，2）；（2）d= ；（3）S（，0）．

【解析】

（1）如图1中，连接AC交OB于F，延长BA交y轴于E．利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（2）分两种情形：①如图2-1中，当0＜m＜4时，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．②如图2-2中，当m＞4时，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．分别求解即可．
（3）如图3中，连接AC交OB于K，在KB上取一点J，使得AK=JK，连接AJ，作ET⊥OB于T，延长PE交y轴于R，连接FM交ES于L．首先证明AJ平分∠BAM，设KM=a，利用角平分线的性质定理构建方程求出a，可得点M的坐标，即可解决问题．

（1）如图1中，连接AC交OB于F，延长BA交y轴于E．

∵直线AB的解析式为y=-x+4，
∴E（0，4），B（8，0），
∴OE=4，OB=8，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，OF=FB=4，
∴∠AFB=∠EOB=90°，
∴AF∥OE，∵OF=FB，
∴AE=AB，
∴AF=OE=2，
∴A（4，2）．
（2）如图2-1中，当0＜m＜4时，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．

∵PQ∥OB，PM⊥OB，QN⊥OB，
∴PM=QN，∠OMP=∠BNQ=90°，四边形PQNM是矩形，
∴PQ=MN
∵AO=AB，
∴∠POM=∠QBN，
∴△PMO≌△QNB（AAS），
∴OM=BN=m，
∴d=PQ=MN=8-2m．
如图2-2中，当m＞4时，作PM⊥OB于M，QN⊥OB于N．

同法可得PQ=MN，OM=BM=m，
∴d=PQ=MN=2m-8．
综上所述，d= ．
（3）如图3中，连接AC交OB于K，在KB上取一点J，使得AK=JK，连接AJ，作ET⊥OB于T，延长PE交y轴于R，连接FM交ES于L．

∵AK=KJ，∠AKJ=90°，
∴∠AJK=45°，
∵∠AJK=∠JA+∠ABJ=45°，∠BAM+∠AOB=∠BAM+∠ABO=45°，
∴∠BAJ=∠BAM，
∴AJ平分∠MAB，
∴（角平分线的性质定理，可以用面积法证明，见下面补充说明），
设KM=a，则AM=，MJ=2-a，JB=2，AB=2，
∴ ，
整理得：a2-5a+4=0，
解得a=1或4（舍弃），
∴KM=1，OM=5，
∴M（5.0），
∵C（4，-2），
∴直线CM的解析式为y=2x-10，
∵直线OA的解析式为y=x
由，解得 ，
∴P（），
∵直线MA的解析式为y=-2x+10，
∵PE∥OB，
∴E（），
∵ER⊥OR，ET⊥OB，
∴∠ERF=∠ETM=∠ROT=90°，
∴ER=RT=，四边形RETO是正方形，
∴TM=5-=，
∵∠RET=∠MEF=90°，
∴∠FER=∠MET，
∴△ERF≌△ETM（ASA），
∴RF=TM=，EF=EM，
∴OF=-=，
∴F（0，），
∵EF=EM，ES平分∠FEM，
∴ES⊥FM，
∴FL=LM，
∴L（），
∴直线ES的解析式为y=3x-，
令y=0，得到x=，
∴S（，0）．
补充说明：如图，AJ平分∠MAB，则，

理由：作JE⊥AB于E，JF⊥AM交AM的延长线于F．
∵AJ平分∠MAB，
∴EJ=JF，
∴

∴．