Question

【题目】给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

（1）以下四边形中，是勾股四边形的为 ．（填写序号即可）

①矩形；②有一个角为直角的任意凸四边形；③有一个角为60°的菱形．

（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，∠DCB=30°，连接AD，DC，CE．

①求证：△BCE是等边三角形；

②求证：四边形ABCD是勾股四边形．

Answer 1

【答案】（1）①②；（2）①证明见解析，②证明见解析

【解析】试题分析：（1）由勾股四边形的定义和特殊四边形的性质，则可得出；
（2）①由旋转的性质可知△ABC≌△DBE，从而可得BC=BE，由∠CBE=60°可得△BCE为等边三角形；②由①可得∠BCE=60°，从而可知△DCE是直角三角形，再利用勾股定理即可解决问题．

试题解析：

（1）①如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴AB2+BC2=AC2，

即：矩形是勾股四边形，

②如图，

∵∠B=90°，

∴AB2+BC2=AC2，

即：由一个角为直角的四边形是勾股四边形，

③有一个角为60°的菱形，邻边边中没有直角，所以不满足勾股四边形的定义，

故答案为①②，

（2）①∵△ABC绕点B顺时针旋转了60°到△DBE，

∴BC=BE，∠CBE=60°，

∵在△BCE中，

BC=BE，∠CBE=60°

∴△BCE是等边三角形．

②∵△BCE是等边三角形，

∴BC=CE，∠BCE=60°，

∵∠DCB=30°，

∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，

在Rt△DCE中，有DC2+CE2=DE2，

∵DE=AC，BC=CE，

∴DC2+BC2=AC2，

∴四边形ABCD是勾股四边形．