Question

【题目】在等腰和等腰中，斜边中点也是的中点，，．

（）如图，则与的关系是__________．

（）将绕点顺时针旋转，请画出图形井求的值．

（）将绕点逆时针旋转，角度为，请判断（）的结论是否仍然成立，若成立请证明，若不成立请画图说明．

Answer 1

【答案】（）相等且垂直;（）;（）见解析

【解析】试题分析：（1）连接AO，A1O，如图1，根据等腰直角三角形的性质得AO⊥OC，AO=OC，A1O⊥OC1，OA1=OC1，则可判断A点、A1点、O点共线，于是得到AA1⊥C1C，AA1=C1C；

（2）先求得FG和GC，再在直角三角形GCF中根据求值；

（3）连接OA，DO，如图2，利用旋转的性质得∠AOD=∠COF，则可利用“SAS”证明△OAD≌△OCF，所以AD=FC，∠OAD=∠OCF，再利用三角形内角和得到∠MHC=∠MOA=90°，于是得到AD⊥FC；

试题解析：

（1）连接AO，DO，如图所示：

∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，斜边EF中点O也是BC的中点，
∴AO⊥OC，AO=OC，DO⊥OF，OD=OF，
∴A点、D点、O点共线，
∴AD⊥FC，OA-OD=OC-OD，
∴AD=FC；

（）∵旋转

∴．

∵等腰，

∴，

∵，

∴，

∴为等腰．

在中

．

∵，

∴，

∴．

∵为中点，

∴，

∴．

∵，

∴

∴．

∵为中点，

∴，

∴．

在中，

∴，

∴．

（）连接、．

∵等腰，为中点

∴，

∴为等腰，

∴．

∵等腰，为中点，

∴，，

∴为等腰，

∴．

∵

∴．

在和中

，

∴≌，

∴，．

∵

∴

∴，

∴（）则结论仍成立．