Question

【题目】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．

（1）求MP的值；
（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？
（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=4，∠D=90°，

∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，

∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，

∴MP= =5

（2）解：如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，

∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，

∴AM=AM′=4，

∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，

∴∠CEP=∠MEP，

而∠CEP=∠MPE，

∴∠MEP=∠MPE，

∴ME=MP=5，

在Rt△ENM中，MN= = =3，

∴NM′=11，

∵AF∥NE，

∴△AFM′∽△NEM′，

∴ = ，即 = ，解得AF= ，

即AF= 时，△MEF的周长最小

（3）解：如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，

∵ER=GQ，ER∥GQ，

∴四边形ERGQ是平行四边形，

∴QE=GR，

∵GM=GM′，

∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，

在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，

M′R= =5 ，

∵ME=5，GQ=2，

∴四边形MEQG的最小周长值是7+5 ．

【解析】（1）根据矩形的性质，四边形ABCD为矩形，得到CD=AB，∠D=90°，再由矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，根据勾股定理得到MP的值；（2）根据折叠的性质，矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，得到∠CEP=∠MEP，ME=MP，根据勾股定理求出MN、NM′的值，由AF∥NE，得到△AFM′∽△NEM′，从而求出AF的值，得到△MEF的周长最小；（3）由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，得到四边形ERGQ是平行四边形，得到四边形MEQG的周长最小，根据勾股定理M′R的值，得到四边形MEQG的最小周长值.
【考点精析】本题主要考查了矩形的性质和轴对称-最短路线问题的相关知识点，需要掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径才能正确解答此题．