Question

【题目】如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．

（1）求证：DB=DE；

（2）若AB=12，BD=5，过D点作DF⊥AB于点F，

①则cos∠EDF= 　；

②求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②

【解析】分析：（1）欲证明DB=DE，只要证明∠DEB=∠DBE；

（2）①连接OE，有线段垂直平分线的性质，可得EF=BE=3，

在Rt△DEF中，由勾股定理DF=4，则cos∠EDF==；

②只要证明∠AOE=∠DEF，可得sin∠DEF=sin∠AOE=，由此求出AE即可解决问题．

详解：（1）∵BD为切线，

∴OB⊥BD，

∴∠OBD=90°，即∠OBE+∠DBE=90°，

∵CD⊥OA，

∴∠A+∠AEC=90°，

而OA=OB，

∴∠A=∠OBE，

∴∠AEC=∠DBE，

∵∠AEC=∠DEB，

∴∠DEB=∠DBE，

∴DB=DE；

（2）①连接OE，如图，

∵E是AB的中点，

∴AE=BE=6，

∵DE=DB=5，DF⊥BE，

∴EF=BE=3，

在Rt△DEF中，DF==4，

cos∠EDF==；

故答案为；

②连接OE，

∵E是AB的中点，

∴OE⊥AB，

∴∠OEB=90°

∴∠EOB+∠EBO=90°，

而∠OBE+∠DBE=90°，

∴∠EOB=∠DBF，

在Rt△OBE中，sin∠EOB==sin∠DBF=，

∴OB==，

即⊙O的半径为．