Question

【题目】如图，⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是优弧BC上一动点（不包括端点），△ABC的高BD、CE相交于点F，连结ED．下列四个结论：

①∠A始终为60°；

②当∠ABC=45°时，AE=EF；

③当△ABC为锐角三角形时，ED=；

④线段ED的垂直平分线必平分弦BC．

其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】分析：①延长CO交⊙O于点G，如图1．在Rt△BGC中，运用三角函数就可解决问题；②只需证到△BEF≌△CEA即可；③易证△AEC∽△ADB，则，从而可证到△AED∽△ACB，则有．由∠A=60°可得到，进而可得到ED=；④取BC中点H，连接EH、DH，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EH=DH=BC，所以线段ED的垂直平分线必平分弦BC．

详解：①延长CO交⊙O于点G，如图1．

则有∠BGC=∠BAC．

∵CG为⊙O的直径，∴∠CBG=90°．

∴sin∠BGC=．

∴∠BGC=60°．

∴∠BAC=60°．

故①正确．

②如图2，

∵∠ABC=45°，CE⊥AB，即∠BEC=90°，

∴∠ECB=45°=∠EBC．

∴EB=EC．

∵CE⊥AB，BD⊥AC，

∴∠BEC=∠BDC=90°．

∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°．

∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．

在△BEF和△CEA中，

，

∴△BEF≌△CEA．

∴AE=EF．

故②正确．

③如图3，

∵∠AEC=∠ADB=90°，∠A=∠A，

∴△AEC∽△ADB．

∴．

∵∠A=∠A，

∴△AED∽△ACB．

∴．

∵cosA==cos60°=，

∴．

∴ED=BC=．

故③正确．

④取BC中点H，连接EH、DH，如图3、图4．

∵∠BEC=∠CDB=90°，点H为BC的中点，

∴EH=DH=BC．

∴点H在线段DE的垂直平分线上，

即线段ED的垂直平分线平分弦BC．

故④正确．

故答案为：①②③④．