Question

【题目】将△ABC的∠C折起，翻折后角的顶点位置记作C′，当C′落在AC上时（如图1），易证：∠1=2∠2.

当C′点落在CA和CB之间（如图2）时，或当C′落在CB、CA的同旁（如图3）时，∠1、∠2、∠3关系又如何？请写出你的猜想，并就其中一种情况给出证明.

图1 图2 图3

Answer 1

【答案】见解析

【解析】利用轴对称的知识找出等解即可进行推理判断.

解：当C′点落在CA和CB之间（如图2）时，∠1+∠3=2∠2；

当C′落在CB、CA的同旁（如图3）时，∠1－∠3=2∠2；

对于图2证明如下：

连结CC’，如图4所示，

∵⊿EC’D是由⊿ECD翻折得到的，

∴⊿EC’D≌⊿ECD，由此得EC=EC’，DC=DC’，∠EC’D=∠ECD，

∴∠EC’C=∠ECC；∠DC’C=∠DCC，

∵∠1=∠DC’C+∠DCC’ ，∠3=∠EC’C+∠ECC’ ，

∴∠1+∠3=∠DC’C+∠DCC’ +∠ EC’C+∠ECC’=2∠DC’C+2∠ EC’C =2(∠DC’C+∠ EC’C)= 2∠2；

∴∠1+∠3=2∠2；

对于图3证明如下：

设AC与DC’在⊿ABC内部所夹角为∠4，如图5所示，

则有∠1=∠C+∠4，∠4=∠3+∠2，

又由翻折得：∠2=∠C，

∴∠1=∠2+∠3+∠2=∠3+2∠2，

∴∠1－∠3=2∠2.