Question

【题目】已知：如图，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN.

（1）求证：四边形ENFM为平行四边形；

（2）当四边形ENFM为矩形时，求证：BE=BN.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】分析：

（1）由已知条件易得∠EAG=∠FCG，AG=GC结合∠AGE=∠FGC可得△EAG≌△FCG，从而可得△EAG≌△FCG，由此可得EG=FG，同理可得MG=NG，由此即可得到四边形ENFM是平行四边形；

（2）如下图，由四边形ENFM为矩形可得EG=NG，结合AG=CG，∠AGE=∠CGN可得△EAG≌△NCG，则∠BAC=∠ACB ，AE=CN，从而可得AB=CB，由此可得BE=BN.

详解：

（1）∵四边形ABCD为平行四四边形边形，

∴AB//CD.

∴∠EAG=∠FCG.

∵点G为对角线AC的中点，

∴AG=GC.

∵∠AGE=∠FGC，

∴△EAG≌△FCG.

∴EG=FG.

同理MG=NG.

∴四边形ENFM为平行四边形.

（2）∵四边形ENFM为矩形，

∴EF=MN，且EG=,GN=，

∴EG=NG，

又∵AG=CG，∠AGE=∠CGN，

∴△EAG≌△NCG，

∴∠BAC=∠ACB ，AE=CN，

∴AB=BC，

∴AB-AE=CB-CN，

∴BE=BN.