Question

【题目】在中，，，点、 分别在射线、上（点 不与点、点重合），且保持.

①若点在线段上（如图），且，求线段的长；

②若，，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

Answer 1

【答案】(1)、CQ=2.4；(2)、，（0＜x＜8）；（x≥8）

【解析】

试题分析：(1)、根据∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC得出∠BAP=∠CQP，然后得到△CPQ∽△BAP，根据相似比得出CQ的长度；(2)、若点P在线段CB上，根据第一题的相似比得出函数解析式；若点P在线段CB的延长线上，根据同样的方法证明△QCP∽△PBA，然后根据相似比得出函数解析式.

试题解析：(1)、∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．又∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∴△CPQ∽△BAP．∴．∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．

(2)、若点P在线段CB上，由（1）知，∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，

又∵CQ=y，AB=5，∴，即．故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．

若点P在线段CB的延长线上，如图．∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，

∴∠CPQ=∠PAB．又∵∠ABP=180°﹣∠ABC，∠PCQ=180°﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，

∴，即（x≥8）