Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．

（1）若BD=BC，证明：sin∠BCD=．

（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．

（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．

（注：本题可根据需要自己画图并解答）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】分析：

（1）如图1，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，由已知条件易得点A、B、C、D四点共圆，由此可得∠EAB=∠BCD，∠EDB=∠BCA，结合∠DEB=∠ABC=90°，可得△BED∽△ABC，从而可得sin∠BCD=sin∠EAB=，结合BD=BC即可得到所求结论；

（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．由已知条件通过证△DAB≌△CBF得到BD=BF，AD=CF，从而可得△DBF是等腰直角三角形，由此可得BD=DF，结合DF=DC+CF=DC+AD=6即可求得BD的长，在Rt△ABC中求得AC的长即可求得的值；

（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，易得四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，从而可得，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，则易得BD=10x，由BD=DC=MN=MB+BN可得10x=6x+8y，则x=2y，由此在Rt△ABM中，可得AB==6y，结合（1）中所得∠BCD=∠MAB即可由sin∠MAB=求得sin∠BCD的值了.

详解：

（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠ADC+∠ABC=180°，

∴点A、B、C、D四点共圆，

∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，

∵∠BED=∠ABC=90°，

∴△BED∽△ABC，

∴ ，

∵ ∠EAB=∠BCD，sin∠EAB=,

∴sin∠BCD=；

（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．

∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，

∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，

∴△DAB≌△CBF，

∴BD=BF，AD=CF，

∵∠DBF=90°，

∴△BDF是等腰直角三角形，

∴BD=DF，

∵AD+CD=6，

∴CF+CD=DF=6，

∴BD=3，AC=，

∴．

（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，

∴，

设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，

在Rt△BDM中，BD==10x，

∵BD=DC，

∴10x=6x+8y，

∴x=2y，

在Rt△ABM中，AB==6y，

∴sin∠BCD=sin∠MAB=．