Question

【题目】抛物线y=4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．

（1）设AB=2，tan∠ABC=4，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；

（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）y=4x2﹣16x+12；（2）P（，﹣3）．（3）不存在．理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）由tan∠ABC=4，可设B（m，0），则A（m-2，0），C（0，4m），可得抛物线的解析式为y=4(x-m)(x-m+2),把C点坐标代入即可求解；

（2）设P（m，4m2-16m+12）.作PH∥OC交BC于H，根据SΔPBC=SΔPHC+SΔPHB，构建二次函数，求解即可；

（3）不存在.假设存在，由题意知， 且1＜﹣＜2，求出a的值，解不等式组即可得解.

试题解析：（1）∵tan∠ABC=4

∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），

∴可以假设抛物线的解析式为y=4（x﹣m）（x﹣m+2），

把C（0，4m）代入y=4（x﹣m）（x﹣m+2），得m=3，

∴抛物线的解析式为y=4（x﹣3）（x﹣1），

∴y=4x2﹣16x+12，

（2）如图，设P（m，4m2﹣16m+12）．作PH∥OC交BC于H．

∵B（3，0），C（0，12），

∴直线BC的解析式为y=﹣4x+12，

∴H（m，﹣4m+12），

∴S△PBC=S△PHC+S△PHB=（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）3=﹣6（m﹣）2+，

∵﹣6＜0，

∴m=时，△PBC面积最大，

此时P（，﹣3）．

（3）不存在．

理由：假设存在．由题意可知，

且1＜﹣＜2，

∴4＜a＜8，

∵a是整数，

∴a=5 或6或7，

当a=5时，代入不等式组，不等式组无解．

当a=6时，代入不等式组，不等式组无解．

当a=7时，代入不等式组，不等式组无解．

综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．