Question

【题目】如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是AB边上一点,G是AD延长线上一点,BE=DG,连接EG,过点C作EG的垂线CH,垂足为点H,连接BH,BH=8.有下列结论:

①∠CBH=45°;②点H是EG的中点;③EG=4;④DG=2.

其中,正确结论的个数是(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，证明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角形，证明∠GEC=45°，根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE，求出BE证明④正确．

详解：连接CG,CE,作HF⊥BC于F,HO⊥AB于O.

在△CBE和△CDG中,

∴△CBE≌△CDG,

∴EC=GC,∠GCD=∠ECB.

∵∠BCD=∠BCE+∠ECD=90°,

∴∠DCG+∠ECD=∠ECG=90°,

∴△ECG是等腰直角三角形,∴∠CEH=45°.

∵∠EHC=90°,∠CEH=45°,∴△CEH是等腰直角三角形,∴EH=CH,易证△OHE≌△FHC,∴OH=FH,

又∵∠ABC=∠HOB=∠HFB=90°,

∴四边形OBFH是正方形,

∴∠CBH=45°,①正确.

∵CE=CG,CH⊥EG,

∴点H是EG的中点,②正确.

∵∠HBF=45°,BH=8,

∴FH=FB=4,又BC=6,

∴FC=2,

∴CH==2,

∴EG=2CH=4,③正确.

∵CH=EH=2,∠EHC=90°,

∴EC==4,

∴BE==2,

又DG=BE,∴DG=2,④正确.

故选：D.