Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，点F在BC延长线上，且CF=BE，连接AC，DF，

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若∠ACD=90°，CF=3，DF=4，求AD的长度．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）

【解析】

（1）由平行四边形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再由CF＝BE证得AD＝EF，进而可证矩形；

（2）先由CF＝3，DF＝4求得DC＝5，再利用△ACD∽△DFC即可求得AD的长．

（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵CF＝BE，

∴CF＋CE＝BE＋CE，

即：BC＝EF，

∴AD＝EF，

又∵AD∥BC，

∴四边形AEFD为平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴∠AEF＝90°，

∴平行四边形AEFD为矩形；

（2）解：∵在矩形AEFD中，

∴∠F＝90°，

∵CF＝3，DF＝4，

∴在Rt△CDF中，CD＝，

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCF，

又∵∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠F，

∴△ACD∽△DFC

∴

∴

∴AD＝