Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C 是⊙O上一点，过点C 作⊙O的切线，交BA的延长线交于点D，过点B 作BE⊥BA，交DC延长线于点E，连接OE，交⊙O于点F，交BC于点H，连接AC．

（1）求证：∠ECB=∠EBC；

（2）连接BF，CF，若BF=5，sin∠FBC=，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）

【解析】

（1）先证EB为⊙O的切线，再利用切线长定理即可证得∠ECB＝∠EBC；

（2）先由BF＝5，sin∠FBC＝求得FH及HB的长，再由Rt△BOH的勾股定理求得OH长，最后利用中位线即可求得AC的长．

（1）证明：∵BE⊥BA，AB是⊙O的直径，

∴BE是⊙O的切线，

又∵CE是⊙O的切线，

∴BE＝CE，

∴∠ECB＝∠EBC；

（2）解：如图，连接OC，

∵BE＝CE，OB＝OC，

∴OE垂直平分BC，

∴∠BHF＝∠BHO＝90°，点H为BC的中点，

∴在Rt△BHF中，sin∠FBC＝＝，

∵BF＝5，

∴FH＝3，

∴BH＝，

设OH＝x，则OB＝OF＝x＋3，

在Rt△OHB中，OH2＋BH2＝OB2，

∴x2＋42＝（x＋3）2，

解得x＝

∴OH＝

∵点O、H分别为AB、CB的中点，

∴OH是△ABC的中位线，

∴AC＝2OH＝