Question

【题目】如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BD⊥AC，垂足为P．
（1）请作出Rt△ABC的外接圆⊙O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）点D在⊙O上吗？说明理由；
（3）试说明：AC平分∠BAD．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，⊙O为所作；

（2）解：点D在⊙O上．理由如下：

连结OD，

∵∠ABC=90°，

∴AC是⊙O的直径，

∵∠ADB=90°，

∴OD= AC，即OD=OA，

∴点D在⊙O上

（3）解：∵AC是⊙O的直径，BD⊥AC，

∴BC=CD，

∴

∴∠BAC=∠DAC，

∴AC平分∠BAD

【解析】（1）作AB和BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点O，以OB为半径作⊙O即可；（2）连结OD，先判断AC是⊙O的直径，而∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得OD= AC，即OD=OA，于是根据点与圆的位置关系可判断点D在⊙O上；（3）由于AC是⊙O的直径，BD⊥AC，根据垂径定理得BC=CD，则 ，然后根据圆周角定理可得∠BAC=∠DAC．
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角形的外接圆与外心(过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心)．